晶体中原子的规则排列一般称为晶体格子，或简称为晶格。

所有晶格的共同特点是具有周期性，它们都可以看做是由一个平行六面体
的单元沿三个边的方向重复排列而成。
一个晶格最小的周期单元称为品格的原胞，它的三个棱可选为描述晶格的
基本矢量，用$\veca_1,\veca_2,\veca_3$表示。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/Protospore20240820143224.jpg}
    \caption{原胞\label{fig:Protospore20240820143224}}
\end{figure}

原胞和基矢具体概括了一个晶格结构的周期性.显然,如果把整个晶格都划分为原胞,
那么,不同原胞中的情况将是完全相似的.任意两个原胞位置的差用基矢表示将具有下列形式:

\begin{equation*}
    l_1\boldsymbol{a}_1+l_2\boldsymbol{a}_2+l_3\boldsymbol{a}_3,
\end{equation*}

$l_1, l_2, l_3$为整数。晶格中$\boldsymbol{x}$点和$\boldsymbol{x}+l_1\boldsymbol{a}_1+l_2\boldsymbol{a}_2+$ $l_3a_3$点的情况将完全相同,因为它们表示两个原胞中相对应的点(见图1-9的二维示意图).如$V(\boldsymbol{x})$表示$\boldsymbol{x}$点某一物理量(例如静电势能、电子云密度等),则有

\begin{equation*}
    V(\boldsymbol{x})=V\left(\boldsymbol{x}+l_1\boldsymbol{a}_1+l_2\boldsymbol{a}_2+l_3\boldsymbol{a}_3\right),
\end{equation*}

表示$V(\boldsymbol{x})$是以$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$
为周期的三维周期函数.

还可用另外一个形式来概括晶格的周期性：把一个晶格平移
\begin{equation*}
    l_1\boldsymbol{a}_1+l_2\boldsymbol{a}_2+l_3\boldsymbol{a}_3\text { ( } l_1, l_2, l_3\text {为任意整数), }
\end{equation*}

结果将与原来晶格完全重合,而没有任何改变.显然,这种描述和(1-1)式所描述的是完全一致的.
从这种观点出发,晶格的这个基本特点被称为晶格的平移对称性.

\begin{definition}[][布拉维格子]
    \textbf{bravais lattice}\quad 晶体基矢组成的向量
    $l_1a_1+l_2a_2+l_3a_3$常称为晶体的\textbf{布拉维格子}.
\end{definition}
按照以上所讲,布拉维格子表征了一个晶格的周期性,或者说,它的平移对称性.根据前面对原胞的描述,
CsCl晶格和简单立方晶格具有相同的原胞、基矢和布拉维格子,所以从周期性来讲, CsCl晶格和简单立方晶格是完全相似的.
NaCl晶格则和面心立方晶格具有相同的布拉维格子,也就是说它们具有完全相似的周期性.

实际晶体的晶格又可以区分为简单晶格和复式晶格。
\begin{itemize}
    \item 在简单晶格中，每一个原胞有一个原子;
    \item 在复式晶格中,每一个原胞包含两个或更多的原子.
\end{itemize}

具有体心立方结构的碱金属和具有面心立方结构的金、银、铜晶体都是简单晶格.
虽然从图上看每个原胞在八个顶角都有原子,但是每个原子为八个原胞共有,所以每个原胞平均只有一个原子.
CsCl和NaCl结构则是复式晶格： CsCl晶格可以看做是在$\mathrm{Cl}^{-}$离子的简单立方原胞中心加一个
$\mathrm{Cs}^{+}$离子,所以,一个原胞包含一个$\mathrm{Cs}^{+}$离子和一个$\mathrm{Cl}^{-}$离子;
NaCl晶格可以看做是在$\mathrm{Na}^{+}$离子的面心立方原胞中心加一个$\mathrm{Cl}^{-}$离子,
所以,一个原胞包含一个$\mathrm{Na}^{+}$离子和一个$\mathrm{Cl}^{-}$离子。

\begin{figure}
    \centering
    \subfloat[CsCl晶胞]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{figure/CsclUnitCell20240820150331.jpg}}
    \subfloat[NaCl晶胞]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{figure/NaclUnitCell20240820150408.jpg}}
    \caption{晶胞与复式点阵\label{fig:UnitCellAndCompoundLattice}}
\end{figure}


简单晶格中所有原子是完全"等价"的,也就是说,它们的性质相同并在晶格中处于完全相似的地位.
用比较生动的比喻来说,如果我们占在一个原子上或另一个原子上将察觉不出任何差别.
复式晶格实际上表示晶格包含两种或更多种等价的原子(离子).
NaCl晶格包含$\mathrm{Na}^{+}$和$\mathrm{Cl}^{-}$两种等价离子,
不同$\mathrm{Na}^{+}$离子之间是完全等价的,不同$\mathrm{Cl}^{-}$离子之间也是完全等价的.
原胞内有几个原子,就表明晶格由几种等价原子构成.复式晶格的结构也可以这样看：
每一种等价原子形成一个按该晶格的布拉维格子排列的简单晶格,复式晶格就是由各等价原子的晶格相互穿套而成.
例如, CsCl的布拉维格子是简单立方,它可以看成是由一个$\mathrm{Cs}^{+}$的简单立方格子
和一个$\mathrm{Cl}^{-}$的简单立方格子穿套成的;
NaCl的布拉维格子是面心立方,它可以看成是由一个$\mathrm{Na}^{+}$的面心立方格子
和一个$\mathrm{Cl}^{-}$的面心立方格子穿套而成的.

应当知道,即使是元素晶格,所有原子都是一样的,也可以是复式晶格,这是因为原子虽然相同,
它们占据的格点在几何上可以是不等价的.例如,具有六角密排结构的
$\mathrm{Be}, \mathrm{Mg}, \mathrm{Zn}$或具有金刚石结构的
$\mathrm{C}, \mathrm{Si}, \mathrm{Ge}$都是这种情形.
六角密排的原胞中,一个格点处在上述的$A$层中,另一个格点处在$B$层中,
$A$原子和$B$原子的几何处境是不相同的,例如,从一个$A$原子来看,上下两层的原子三角形是朝一个方位,
但从一个$B$原子来看,上下两层的原子三角形则是朝着另一个方位。
金刚石结构中同样可以区分为$A$和$B$两类几何上不等价的格点，把立方内的格子点和处在立方面上的格点分别称为
$A$和$B$,则可以看出$A$格点的近邻四面体和$B$格点的近邻四面体在空间具有不同的方位。
仔细考查一下,还可以看出,金刚石结构中$A$格点和$B$格点各形成一个面心立方晶格。
这表明金刚石结构具有面心立方的布拉维格子，原胞中包含两个格点，一个$A$格点和一个$B$格点.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/DiamondUnitCell20240820151052.jpg}
    \caption{金刚石的晶胞\label{fig:DiamondUnitCell20240820151052}}
\end{figure}

\begin{definition}[][倒格矢]
    \textbf{inverted vector}\quad 根据基矢$a_1, a_2, a_3$可以引人三个新的矢量

    \begin{equation*}
        b_1=\frac{a_2\times a_3}{a_1\cdot\left(a_2\times a_3\right)}, b_2=\frac{a_3\times a_1}{a_2\cdot\left(a_3\times a_1\right)}, b_3=\frac{a_1\times a_2}{a_3\cdot\left(a_1\times a_2\right)},
    \end{equation*}
    称为倒格矢.(我们注意各分母是相同的,其绝对值等于原胞的体积).
\end{definition}
以后将看到,引入倒格矢使我们能够更加简化地从理论上分析许多晶格的问题,这主要是由于它们具有下列基本性质：

\begin{equation*}
    \boldsymbol{a}_i \cdot \boldsymbol{b}_j=\delta_{i j}\quad(i, j=1,2,3) .
\end{equation*}

\begin{example}
    倒格矢的简单应用.
\end{example}

在晶格问题中,往往需要把矢量$\boldsymbol{x}$按基矢来表示,即写成

\begin{equation*}
    \boldsymbol{x}=\xi_1a_1+\xi_2a_2+\xi_3a_3.
\end{equation*}

有关的分量$\xi_1, \xi_2, \xi_3$就可以简便地用倒格矢写出：

\begin{equation*}
    \xi_1=\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{b}_1, \xi_2=\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{b}_2, \xi_3=\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{b}_3
\end{equation*}
一个具有晶格周期性的函数

\begin{equation*}
    V(\boldsymbol{x})=V\left(\boldsymbol{x}+l_1\boldsymbol{a}_1+l_2\boldsymbol{a}_2+l_3\boldsymbol{a}_3\right)
\end{equation*}

可以用倒格矢方便地写成傅里叶级数.设想把$x$按分量$\xi_1, \xi_2, \xi_3$表示,
则$V$作为$\xi_1, \xi_2, \xi_3$的函数将是周期为1的周期函数,因此可以写成傅里叶级数:

\begin{equation*}
    V\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)=\sum_{h_1, h_2, h_3} V_{h_1h_2h_3} \mathrm{e}^{2\pi i\left(h_1\xi_1+h_2\xi_2+h_3\xi_3\right)}
\end{equation*}
其中系数：

\begin{equation*}
    V_{h_1h_2h_3}=\int_0^1\mathrm{~d} \xi_1\int_0^1\mathrm{~d} \xi_2\int_0^1\mathrm{~d} \xi_3\mathrm{e}^{-2\pi i\left(h_1\xi_1+h_2\xi_2+h_3\varepsilon_3\right)} V\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)
\end{equation*}
傅里叶级数可以直接用矢量$\boldsymbol{x}$表示出来:

\begin{equation*}
    V(\boldsymbol{x})=\sum_{h_1, h_2\cdot h_3} V_{h_1h_2h_3} \mathrm{e}^{2\pi i\left(h_1b_1+h_2b_2+h_3b_3\right) \cdot x}
\end{equation*}
系数也可以相应地写成

\begin{equation*}
    \frac{1}{\left|\boldsymbol{a}_1\cdot\left(\boldsymbol{a}_2\times \boldsymbol{a}_3\right)\right|} \int \mathrm{d} \boldsymbol{x} \mathrm{e}^{-2\mathrm{x} i\left(h_1\boldsymbol{b}_1+h_2\boldsymbol{b}_2+h_3\boldsymbol{b}_3\right) \cdot \boldsymbol{x}} V(\boldsymbol{x}),
\end{equation*}
积分表示在一个原胞内的体积分.
\begin{definition}[][倒格子]
    \textbf{inverted grid}\quad 傅里叶级数中指数上的各矢量
    \begin{equation*}
        h_1\boldsymbol{b}_1+h_2\boldsymbol{b}_2+h_3\boldsymbol{b}_3\quad\left(h_1, h_2, h_3=\text {整数}\right)
    \end{equation*}
    构成一个以$b_1, b_2, b_3$为基矢的格子,往往称为原来晶格的倒格子.
\end{definition}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/SelectionOfPrimitiveCells20240820151925.jpg}
    \caption{原胞的选取\label{fig:SelectionOfPrimitiveCells20240820151925}}
\end{figure}

\figref{fig:SelectionOfPrimitiveCells20240820151925}的平面示意图中,阴影的面积表示两个形状不同的原胞,
它们都是格子的最小周期单元.显然,可以有无穷多方式选取原胞,它们都同样可以概括格子的周期结构.
在一般的理论分析中,往往并不需要具体确定如何选取原胞.但是,在具体研究某一种晶体时,就需要把原胞和基矢规定下来.
原胞选取得适当,就可以便利问题的分析,而特别重要的是,要能反映出整个格子的对称性.
例如,\figref{fig:SelectionOfPrimitiveCells20240820151925}中方形
原胞就能反映出格子的方形对称特点,而歪斜的原胞则不能.为了这种目的,在晶体学中,
已对各种类型的布拉维格子如何选取周期单元做了统一的规定。

有的格子,无论怎样选取原胞,都不能直接反映出整个格子的对称性.体心和面心立方格子就是这种情形。
在这种情况下，晶体学选取的单元便是立方,也就是说,为了反映格子的对称性,选取了较大的周期单元.
我们将称晶体学中选取的单元为单胞.所以单胞在有些情况下是原胞,在另一些情况下则不是原胞.
沿单胞的三个棱所作的三个矢量通常称为单胞的基矢.
\begin{note}
    可以采用下列方式选取原胞：（1）把某个格点与其所有相邻格点用直线连接起来：（2）
    在这些连线的中点处，作垂直线或垂面。以这种方式围成的最小体积就是维格纳-赛茨原胞。
\end{note}